قانون المسافة في الرياضيات الرياضيات من العلوم التي تعتمد بشكل كبير على الذكاء والتفكير والقدرة على التركيز. حل المسائل الرياضية يتطلب الدقة في الحل. هناك العديد من علماء الرياضيات الذين برعوا في إيجاد القوانين والنظريات الرياضية، ومنهم العالم الخوارزمي الذي ابتكر المعادلات الجبرية. وتخصص بشكل كبير في الجبر، ومن القوانين الرياضية التي توصل إليها العلماء قانون المسافة، وهو ما سنتعرف عليه في هذا المقال.
ما هي المسافة
هناك تعريفات عديدة للمسافة، بعضها من وجهة نظر فيزيائية وبعضها من وجهة نظر عالم الرياضيات، ولكنها بشكل عام كمية قياسية توضح الطول بين نقطتين محددتين، ويمكن قياس المسافة بطريقة سهلة وبسيطة. يُرمز للمسافة بالرمز m، وهناك فرق بين المسافة والإزاحة.
يتم قياس المسافة بوحدات الطول المعروفة إما بالسنتيمتر أو الأمتار أو الكيلومترات. يتم قياس القياسات الصغيرة بالسنتيمتر، بينما يتم قياس المسافات الأكبر بالمتر. يتم قياس المسافات الكبيرة جدًا بالكيلومترات، مثل المسافات بين المدن.
أنظر أيضا:
قانون المسافة بين نقطتين
يعد قانون المسافة في الرياضيات من القوانين المهمة التي تستخدم في حل المسائل الرياضية المختلفة. وهو من الدروس الموجودة في وحدة الجبر والمعادلات. يمكن تعريف المسافة بأنها طول المسار الذي يقطعه الجسم أثناء حركته من مكان إلى آخر. المسافة، كما ذكرنا لك أعلاه، تقاس بالوحدات. متنوعة وهي كمية معيارية أي أنها تتحدد بالقدر فقط ولم يحدد لها الاتجاه.
في قانون المسافة بين نقطتين، تستخدم الإحداثيات المعطاة لكل نقطة من النقاط التي سيتم حساب المسافة بينها، ويتم التعبير عن المقدار بالوحدات، لأن النقاط تقع على المستوى الديكارتي، وكل منها يتم التعبير عن المربع على المستوى الديكارتي بوحدة واحدة، ولكن المسافة بشكل عام تقاس بالوحدات. الأمتار والكيلو مترات والسنتيمترات. وتعتبر هذه الوحدات من أهم وحدات قياس الطول.
يستطيع الطالب حساب المسافة بين أي نقطتين تقعان على المستوى الديكارتي مثل النقطة (x1, y1) والنقطة (x2, y2) من خلال الصيغة التالية:
- المسافة2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2، وبالتالي فإن المسافة تساوي الجذر التربيعي لـ ((x2 x1)2 + (y2 y1)2).
اشتقاق قانون المسافة بين نقطتين
يتم استخلاص قانون المسافة أو المسافة بين نقطتين على المستوى الديكارتي من خلال إحداثيي x و y لكل نقطة من النقاط، وذلك باتباع الخطوات التي سنشرحها لك أدناه:
- أولا، يجب تحديد النقاط التي يجب حساب المسافة بينها على المستوى الديكارتي. على سبيل المثال، يتم افتراض النقطة الأولى A والنقطة الثانية B.
- يتم رسم خط مستقيم بين النقطتين A وB، ومن ثم يكتمل الرسم بحيث يعطي الشكل مثلثاً قائم الزاوية عند النقطة C.
- بعد رسم المثلث القائم الزاوية، يتم تطبيق قانون نظرية فيثاغورس، وهو كما يلي: (bc)2 + (ca)2 = (ab)2 تحديد إحداثيات النقطتين A و B، بحيث يكون النقطة A تساوي (x1,y1) والنقطة B تساوي (x2,y2)، وبالتالي فإن المسافة الأفقية (bc) = x1 – x2، والمسافة العمودية (ca) = y1 – y2.
- وهنا يتم استبدال قيمة (BC) و (CA) في قانون نظرية فيثاغورس فينتج ما يلي:
- المسافة2 = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 المسافة بين النقطتين A و B = الجذر التربيعي للقيمة ((x1 x2)2 + (y1 y2)2.
- وبالتالي فإن قانون المسافة هو اشتقاق من نظرية فيثاغورس.
أنظر أيضا:
مثال على صيغة المسافة بين نقطتين
بعد أن شرحنا لكم أعلاه مفهوم المسافة، وشرحنا لكم قانون المسافة بين نقطتين وكيفية استخلاصه، سنقدم لكم أمثلة على القانون وحلها، وهي كما يلي:
- إذا كانت إحداثيات النقطة A هي (3,1) وإحداثيات النقطة B هي (6,5)، فأوجد المسافة بين النقطتين A وB؟ كتابة الصيغة ab = ((x2 x1)² + (y2 y1)²) √ التعويض بالبيانات ab = ((5 1)² + (6 3)²) √ ab = ((4) )² + (3)²) √ أ ب = (16 + 9) √ أ ب = 25√ أوجد النتيجة = 5
- إذا كانت النقطة E لها إحداثيات (3، -5) والنقطة E لها إحداثيات (-6، -10)، فأوجد المسافة بين النقطتين E وF. الحل: F (EF)² = (S2 – S1)² + (Y2 – Y1)² (EF)² = (-6 – 3)² + (-10 – -5)² (EF)² = (-9)² + (-5)² (ef)² = 81 + 25f (ef)² = 106 (ef) = جذر 106 وحدة.
- إذا كانت إحداثيات النقطة A هي (1,3) وإحداثيات النقطة B هي: (5,6)، فأوجد المسافة بين النقطتين A وB. الحل: (ab)² = (x2 – x1)² + ( y2 – y1)² (ab)² = (5-1)² + (6-3)² (ab)² = 4²+3² و (Ab)² = 16+9=25 (Ab) = 5 وحدات.
- أوجد المسافة بين النقطة (1,7) والنقطة (3,2) الحل: المسافة بين نقطتين = الجذر التربيعي لـ ((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2) المسافة = الجذر التربيعي لـ ((1) 3) )2 + (7 2)2) المسافة = الجذر التربيعي لـ (4 + 25) = الجذر التربيعي لـ (29).
الفرق بين مفهوم المسافة والإزاحة
تختلف المسافة في مفهومها عن الإزاحة، حيث أن المسافة هي كمية معيارية يتم تحديدها بمقدار ولا يؤخذ بعين الاعتبار هذه المسافة، أي يتم حساب المسافة عن طريق قياس طول المسار الذي سلكه الجسم عند نقطتين محددتين ، أو هي الطول بين نقطتين محددتين، أما الإزاحة فهي كمية متجهة تقيس التغير الحاصل في حركة جسم في اتجاه معين، أي الخط المستقيم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. ويتم التعبير عن الإزاحة في العديد من المشكلات الجسدية، كما أن هناك علاقة تربط بين الإزاحة والسرعة.
أنظر أيضا:
صيغة نقطة المنتصف بين نقطتين
قانون إحداثيات نقطة المنتصف، أي منتصف المسافة بين نقطتين، هو أحد القوانين المهمة التي تستخدم لإيجاد المجهول في المعادلات الجبرية. يمكن إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف باستخدام قانون نقطة المنتصف لإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تكون نهايتها (x1, y1) (x2, y2).
- م = (x1 + x2/2، y1 + y2/2)
علاقة المسافة بالسرعة والزمن
هناك قانون رياضي يربط بين المسافة والسرعة والزمن، فالسرعة هي المسافة المقطوعة خلال فترة زمنية محددة، ولإيجاد السرعة يتم قسمة المسافة على الزمن، بينما المسافة تساوي السرعة × الزمن، حيث ( (مم، سم، دم، م، ميل، كم) هي الوحدات الأساسية لقياس المسافة، وتقاس السرعة بالكيلومتر/ساعة أو م/ث، ووحدات الوقت هي إما الثانية أو الدقيقة أو الساعة.
قانون المسافة في الرياضيات ذكرنا لكم في المقال مفهوم المسافة والعلاقة الرياضية التي من خلالها يتم إيجاد المسافة بين نقطتين. كما قمنا بشرح كيفية استخلاص قانون المسافة، والفرق بين مفهوم المسافة والإزاحة، بالإضافة إلى قانون منتصف المسافة بين نقطتين وعلاقة المسافة بالسرعة والزمن.